가로줄을 행(Row), 세로줄을 열(Column), 행 크기와 열 크기로 행렬의 크기를 말한다.
1.2 행렬의 연산
행렬에서 가능한 연산 : 덧셈, 뺄셈, 스칼라곱, 곱셈
행렬의 덧셈과 뺄셈
두 행렬의 크기가 같아야만 연산이 가능
(두 행렬의 행과 열의 크기가 각각 같아야 함)
두 행렬 A,B에서 같은 자리에 있는 원소들끼리 더하거나 빼는 연산
덧셈 표현: A+B
뺄셈 표현: A-B
행렬의 스칼라곱(Scalar Multiplication)
행렬 A에 실수 K를 곱하는 연산
행렬의 각 원소마다 그 실수 값(K)을 곱함
행렬의 곱셈
nxm 행렬 A와 rxs 행렬 B가 있고 m=r(A행렬의 행과 B행렬의 열이 같으면)이 때, nxs 행렬 AxB
두 개의 행렬을 연산해서 나온 행렬의 크기는 n x s이다.
1.3 행렬의 종류
영행렬(Zero Matrix)
n x m 행렬 A가 있을 때, 모든 원소가 0인 행렬
n차 정사각행렬(n-square Matrix)
nxm 행렬 A가 있을 때 n=m인 행렬, 행과열이 같은 행렬
대각행렬(Diagonal Matrix)
n차 정사각행렬에서 대각원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬
단위행렬 = 항등행렬 (Unit Matrix, Identity Matrix : I)
위의 대각행렬에서 대각원소가 모두 1인 행렬
단위행렬은 행렬의 곱셈에서 AI = IA = A이기 때문에 항등행렬 이라고도 함
단위행렬과의 곱셈 연산은 항상 교환법칙이 성립
전치행렬(Transpose Matrix)
nxm 행렬 A가 있을 때, 행과 열을 바꾼 *m*x*n* 행렬
대칭행렬(Symmetric Matrix)
n차 정사각행렬 A가 있을 때 , A=AtA와 A전치가 같은 행렬
부울행렬(Boolean Matrix)
행렬의 모든 원소가 부울값(0과 1)으로만 구성된 행렬
부울행렬 : 원소 간의 관계를 표현하거나 관계를 합성하는 데에 유용하게 사용되는 행렬,
0과 1로만 표현되기 때문에 일반 행렬과 다른 연산 방식을 사용
부울행렬의 합
논리합(v) 연산과 같은 방식으로 연산
행렬 A의 원소와 행렬 B의 원소 중 하나라도 1이면 합 연산의 결과는 1이다.
부울행렬의 교차
논리곱(^)연산과 방식이 같음
행렬 A의 원소와 행렬 B의 원소가 모두 1인 경우에만 교차 연산의 결과가 1이 됨
부울행렬의 부울곱
행렬의 곱셈 방식과 논리합, 논리곱의 연산을 적용
2.1 행렬식
행렬식(Determinat) : n차 정사각행렬에 대응하는 함수
행렬식은 행렬중에서 정사각행렬을 대표하는 식
연립방적식의 해가 존재하는지의 여부를 판별하거나 해를 구하기 위해 라이프니츠가 고안해낸 함수
2차, 3차 정사각행렬에 대한 기본 행렬식 → Sarrus 전개 사용
기본 행렬식은 2차와 3차 정사각행렬에 대해서만 적용할 수 있다. → ad - bc
3차 이상은 소행렬 관련한 개념을 이용한다. → Laplace 전개 사용
3차 이상의 정사각행렬에 대한 행렬식
소행렬과 소행렬식
3차 이상의 정사각행렬의 행력식은 행렬을 작게 분할한 소행렬을 이용
소행렬(Minor Matrix) : n차 정사각행렬에서 i번째 행과 j번째 열을 제외 한 나머지 행렬
소행렬은 원래 행렬 A보다 행과 열의 크기가 하나씩 작다.
여인수(Cofactor)와 여인수행렬(Cofactir Matrix) : 여인수는 행렬식을 구하는 식에서 행렬 A의 원소의
계수가 되는 수로 소행렬식에 의해 결정되며, 여인수행렬 내에서의 위체 따라 부호가 정해진다
대각 원소는 모두 + 대각원소를 기준으로 양 옆으로 - → + → - → + .. 반복
3.1 역행렬
역행렬(Inverse Matrix) : 정사각행렬 A에 대해 AB=BA=I를 만족하게 만드는 행렬 B
행렬식을 이용한 역행렬 : 1/행렬식(A) * 수반행렬 → 행렬식에서는 소행렬 숫자가 중요하지만 역행렬 숫자는 중요하지 않음
수반행렬 : 여인수행렬에 대한 전치행렬
가역행렬(Ivertible Matrix), 특이행렬(Singular Matrix)
가역행렬 : det(A)가 0이 아닌 행렬 , 역행렬이 존재
특이행렬 : det(A)가 0인 행렬, 역행렬이 존재하지 않는 행렬
4.1 연립1차방정식
1차방정식(Linear Equation) : 1차방정식은 미지수끼리의 곱이나 제곱근이 포함되지 않고, 모든 미지수가 1차로 표현
해(Solution) : 1차 방정식에 포함된 n개의 미지수에 대해 x1=s1, x2=s2… xn=sn을 만족한 s
1차방정식을 푸는 것은 해 또는 해집합을 구하는 것
연립1차방정식 : 1차방정식을 유한개 모아놓은 것
행렬들을 AX=B의 형태로 연산하면 연립1차방정식과 같은 형태이다.
행렬 A를 계수행렬, 행렬 X를 미지수행렬, 행렬 B를 상수행렬이라 한다.
첨가행렬(Augmented Matrix) : 연립1차방정식의 계수행렬 A와 상수행렬 B로 구성된 행렬
가우스 소거법
가우스 행렬(Gauss Matrix) : 계수행렬의 대각원소들을 모두 1로 만들면서, 대각원소를 기준으로 아래 원소들은 모두
0이 되도록 하고, 위쪽 원소들은 계수들로 남겨놓은 형태의 첨가행렬
기본행연산을 사용
한 행에 0이 아닌 스칼라 곱 가능
스칼라곱을 한 행과 다른 행을 더해 원소를 0으로 (행 교환 가능)
가우스 조르단 소거법
가우스 소거법에서 조금 더 연산을 수행하여 첨가행렬 중 계수 부분을 모두 단위행렬의 형태로 만든다.
